No entanto, há um ponto ótimo de aplicação dos fertilizantes, já que uso excessivo pode resultar na lixiviação de nutrientes

No entanto, há um ponto ótimo de aplicação dos fertilizantes, já que uso excessivo pode resultar na lixiviação de nutrientes, na contaminação dos lençóis freáticos e no aumento dos custos de produção. Por isso, é necessário recorrer a ferramentas matemáticas para analisar e otimizar seu uso, garantindo a máxima produtividade com o menor impacto.

Nesta atividade, você aplicará seus conhecimentos de cálculo para determinar a área disponível para cultivo e otimizar a aplicação de fertilizantes, contribuindo para uma produção agrícola mais eficiente e sustentável.

SITUAÇÃO-PROBLEMA

Parte 1: Cálculo da área

O agricultor, satisfeito com os bons resultados na produtividade da plantação, decidiu expandir sua área de cultivo para aumentar a produção de milho na próxima safra. Para isso, ele adquiriu um novo terreno próximo à sua propriedade, conforme mostra a Figura 1, e precisa obter sua área total para realizar o planejamento de compras de fertilizantes e insumos.

Figura 1. Mapa de localização da nova área de plantio adquirida pelo agricultor.

Como engenheiro agronômo responsável pela área de plantio, você recebeu a missão de cálcular a área do novo terreno adquirido pelo agricultor. Durante a análise do espaço, você percebeu que a forma do terreno pode ser modelada matematicamente.

Ao análisar o mapa da propriedade (Figura 1), você notou que a borda do terreno segue o comportamento de uma função matemática, onde a função é dada por:

1. Utilizando seus conhecimentos de cálculo integral, determine a área total do novo terreno, resolvendo a seguinte integral definida:

2. Após obter a área, converta o resultado para hectares, considerando que 1 hectare equivale a 10.000 m², e informe ao agricultor a nova área total disponível para o plantio de milho.

Parte 2: Cálculo - ótimização do uso de fertilizantes

A partir de agora o agricultor deseja determinar a quantidade ideal de fertilizante para maximizar a sua produtividade. Em estudos experimentais indicaram que a produtividade agrícola P(x) (em toneladas por hectare) pode ser modelada pela seguinte função matemática:

onde x representa a quantidade de fertilizante aplicada (kg/hectare).

Para encontrar o ponto ótimo de aplicação de fertilizante, resolva as seguintes questões:

1) Determine a quantidade de fertilizante, descrito por x, que maximiza a produtividade agrícola, utilizando as aplicações de derivada.

2) Utilize o conceito de segunda derivada para justificar a quantidade de fertilizante, encontrada no item 1, que gera um ponto de máxima produtividade.

3) Substitua o valor encontrado no item 1 na equação P(x) para calcular a produtividade máxima de milho que o agricultor pode obter utilizando a quantidade ideal de fertilizante encontrado.