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ATIVIDADE 3 - MAT - CÁLCULO NUMÉRICO - 54_2025

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ATIVIDADE 3 - MAT - CÁLCULO NUMÉRICO - 54_2025

ATIVIDADE 3 - MAT - CÁLCULO NUMÉRICO - 54_2025

Questão 1
O método da bisseção é um algoritmo usado para encontrar aproximações das raízes de uma equação. Começa-se com um intervalo [a,b], que contém uma raiz, e, em cada passo do algoritmo, reduz-se o intervalo pela metade, usando-se um teorema para determinar se a raiz está à esquerda ou à direita do ponto médio do intervalo anterior. Ou seja, após o passo 1, obtém-se um intervalo de comprimento(b-a)/2; após o passo 2, obtém-se um intervalo de comprimento b a b-a)/4 ; e após o passo n, obtém-se um intervalo de comprimento (b-a)/2n. Esse processo continua até que o intervalo obtido tenha comprimento menor que o erro máximo desejado para a aproximação.

Fonte HAMMING, R. W. Numerical methods for scientists and engineers. 2. ed. Atlanta: ThriftBooks, 1987.

Nessa situação, para aplicar esse método no intervalo [6,10], quantos passos serão necessários para obter-se um intervalo de comprimento menor que 10-3?

Alternativas
Alternativa 1:

9.

Alternativa 2:

10.

Alternativa 3:

11.

Alternativa 4:

12.

Alternativa 5:

13.

Questão 2
A integração numérica é um método da análise numérica usado para calcular a integral definida de uma função quando não é possível encontrar uma solução analítica (ou seja, uma solução em forma fechada) ou quando essa solução é muito difícil de obter. Em vez de encontrar a primitiva da função, a integração numérica aproxima a integral calculando a área sob a curva da função de forma aproximada, usando técnicas como a regra dos trapézios, a regra de Simpson.


Fonte: o autor.

​A figura precedente ilustra a aplicação da regra do trapézio simples, um método de integração numérica que aproxima a área sob o gráfico da função f(x) pela área de um trapézio, em um intervalo [a, b] contido no domínio da função.

Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir:

Alternativas
Alternativa 1:

I, apenas.

Alternativa 2:

III, apenas.

Alternativa 3:

I e II, apenas.

Alternativa 4:

II e III, apenas.

Alternativa 5:

I, II e III.

Questão 3
A regressão linear é uma técnica estatística que busca modelar a relação entre uma variável dependente (aquela que se quer prever) e uma ou mais variáveis independentes (que são usadas para fazer a previsão) através de uma equação linear. Em outras palavras, ela tenta encontrar a melhor linha reta que se ajusta aos dados, permitindo prever valores futuros da variável dependente com base nos valores das variáveis independentes.

Fonte: o autor.

​A figura ilustra o relacionamento entre duas variáveis, X e Y, em que X é variável independente e Y é a variável dependente, ajustado pelo método dos mínimos quadrados. Com base na configuração dos pontos no gráfico, assinale a alternativa que apresenta um valor possível para o coeficiente de correlação linear (coeficiente de correlação de Pearson) entre X e Y:

Alternativas
Alternativa 1:

-1,00.

Alternativa 2:

-0,70.

Alternativa 3:

0,65.

Alternativa 4:

0,75.

Alternativa 5:

0,90.

Questão 4
Diferentes algoritmos são empregados para estimar a raiz de uma equação da forma f(x) = 0 e um deles é o denominado método de Newton-Raphson, que é descrito pelos seguintes passos e a figura ilustra a interpretação geométrica desse algoritmo.
Passo 1: escolhe-se um valor xn, uma aproximação inicial para a raiz da equação f(x) = 0;
Passo 2: determina-se a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto de coordenadas (xn, f(xn));
Passo3: determina-se o ponto (xn+1, 0), interseção da reta encontrada em II com o eixo das abcissas;
Passo 4: repete-se, para xn+1, os passos 2 e 3, e prossegue até encontrar a raiz da equação f(x) = 0 com a precisão desejada.

Fonte: o autor.

Em notação matemática, o algoritmo descrita acima é dado pela sequência recursiva ​em que xn, para n = 0, 1, 2, ..., indica a n-ésima iteração do algoritmo e f (xn) é a derivada da função f no ponto xn.

Nessa situação, assinale a opção que apresenta o valor correto para xn+1, calculado pelo método de Newton-Raphson, para a função f(x) = sen x - 0,5.

Alternativas
Alternativa 1:

xn+1 = xn - tg(xn) + 0,5 sec(xn)

Alternativa 2:

xn+1 = xn + tg(xn) - 0,5 sec(xn)

Alternativa 3:

xn+1 = xn - tg(xn) - 0,5 sec(xn)

Alternativa 4:

xn+1 = xn + cotg(xn) - 0,5 sec(xn)

Alternativa 5:

xn+1 =  xn - cotg(xn) + 0,5 sec(xn)

Questão 5
Considere o seguinte conjunto de dados com cinco pontos: (1, 52); (2, 5); (4, -5), (5, - 40) e (7, 10). Ao empregar o método de Lagrange para interpolação sobre todos os pontos, o valor interpolado em x = 3 é igual a
Alternativas
Alternativa 1:

4

Alternativa 2:

5

Alternativa 3:

6

Alternativa 4:

7

Alternativa 5:

8

Questão 6
A integração numérica envolve métodos numérico para o cálculo de integrais definidas. Para compreender adequadamente este conteúdo, é pré-requisito básico conhecer o conteido de uma integral, entender que a integral é a anti-derivada, saber diferenciar integrais definidas e indefinidas e conhececer as regrás básicas para encontrar funções primitivas F(x).



É correto o que se afirma em:
Alternativas
Alternativa 1:

I, apenas.

Alternativa 2:

I e II, apenas.

Alternativa 3:

III e IV, apenas.

Alternativa 4:

II, III e IV, apenas.

Alternativa 5:

I, II, III e IV.

Questão 7
Um método numérico para calcular solução única de um sistema de equação AX = B, tal que o valor det A é diferente de zero é denominado iterativo quando fornece uma sequência de soluções aproximadas, em que cada uma delas é obtida da anterior pela aplicação de um mesmo procedimento.


Considere o método iterativo cujo algoritmo é descrito por:


Elaborado pelo professor, 2024.

​Nessas condições, o algoritmo descreve o método de:

Alternativas
Alternativa 1:

Cholesky.

Alternativa 2:

Crout.

Alternativa 3:

Doolittle.

Alternativa 4:

Gauss-Seidel.

Alternativa 5:

Jacobi.

Questão 8
Três números com quatro dígitos foram escritos em três pedaços de papel. A soma desses três números é igual a 17.215. Porém, após algum tempo, três dígitos foram rasurados e os três papéis ficaram como mostra a figura 1:


Figura 1: Dígitos rasurados.

​Fonte: elaborado pelo professor, 2024.

A soma dos três dígitos rasurados é igual a X. Nessas condições, o número X escrito em base binária é igual a:

Alternativas
Alternativa 1:

101

Alternativa 2:

1001

Alternativa 3:

1100

Alternativa 4:

1101

Alternativa 5:

10001

Questão 9
..
Alternativas
Alternativa 1:

W < 0.

Alternativa 2:

0 < W < 0,500.

Alternativa 3:

0,500 < W < 1,000.

Alternativa 4:

1,000 < W < 1,500.

Alternativa 5:

W > 1,500.

Questão 10
Uma máquina trabalha no sistema de ponto flutuante SPF(8, 10, -10, 20). Nessa condição, assinale a alternativa CORRETA.
Alternativas
Alternativa 1:

Esse sistema de ponto flutuante apresenta um menor número positivo exatamente representável, diferente de zero.

Alternativa 2:

A base numérica empregada é 10.

Alternativa 3:

A mantissa tem 8 dígitos.

Alternativa 4:

Há exatamente 30 números reais exatamente representáveis nesse sistema de ponto flutuante.

Alternativa 5:

O número zero não está incluído nesse sistema de ponto flutuante.

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