ATIVIDADE 3 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 54_2025

ATIVIDADE 3 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 54_2025

QUESTÃO 1

Em um estudo para projetar um reservatório de água, a profundidade f(x,y) em metros, em função da posição (x,y), é dada por:

f(x,y) = x²+ 2y² - xy.

Um engenheiro gostaria de saber se o ponto (0,0) é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, ele aplicou o teste da derivada segunda.

Com base nessas informações, calcule as derivadas parciais de segunda ordem no ponto (0,0) e assinale a alternativa correta:

Alternativas

Alternativa 1 - O ponto (0,0) é um mínimo local, apenas.

Alternativa 2 - O ponto (0,0) é um máximo local, apenas.

Alternativa 3 - O ponto (0,0) é um ponto de sela, apenas.

Alternativa 4 - O ponto (0,0) é um mínimo local e um ponto de sela.

Alternativa 5 - O ponto (0,0) é um máximo local e um ponto de sela.

QUESTÃO 2

O final da segunda década do século XXI colocou o planeta diante de uma realidade quase inimaginável para as atuais gerações. Como se a vida imitasse a ficção, ficou-se refém de uma pandemia que atravessa todas as fronteiras físicas, institucionais ou sociais. Não é exagero dizer que a COVID-19, presente em todos os noticiários desde o início de 2020, logo se revelou catastrófica. Na economia, as medidas de contenção do flagelo provocaram retração que, ao menos nos primeiros meses, pareceu o limiar de uma crise de dimensões históricas. A produção industrial, que atingira alta fragmentação internacional em vários setores, sofreu, além de declínio na demanda, sérios problemas de abastecimento em insumos e matérias-primas devido à interrupção de atividades nos países fornecedores ou às dificuldades de transporte.

Fonte: Disponível em: file:///C:/Users/Edmar/Downloads/83-Texto%20do%20artigo-193-5-10-20211002.pdf. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).

Sobre a questão de indústria e produção, observe a situação a seguir. Em uma fábrica, o número y de peças produzidas por um operário depende do número x de horas trabalhadas a partir do início do turno (x=0), e tal produção é dada por y = -x3+15x2, onde x é dado em horas e y em unidades. Usando o conceito de que o valor médio de uma função, pode ser obtido por: 

Sendo assim, determine o número médio de peças produzidas no intervalo de horas de x = 1 até x = 5 e assinale a alternativa correta:

Alternativas

Alternativa 1 - 15 peças.

Alternativa 2 - 116 peças.

Alternativa 3 - 250 peças.

Alternativa 4 - 300 peças.

Alternativa 5 - 350 peças.

QUESTÃO 3

Em um estudo de engenharia ambiental, a concentração C(x,y) de um poluente em uma região é modelada por uma função de duas variáveis, em que x representa a distância em metros de uma fábrica na direção leste-oeste e y a distância na direção norte-sul. Um pesquisador analisa o que acontece com C(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0), ou seja, do ponto mais próximo da fábrica.

Sobre o limite da função C(x,y) quando (x,y)→(0,0), analise as afirmativas a seguir:

1. O limite de C(x,y) quando (x,y)→(0,0) descreve o valor que a concentração tende a assumir próximo à fábrica.

1. Para o limite existir, a função C(x,y) deve tender ao mesmo valor independentemente do caminho seguido até (0,0).

III. Se o valor de C(x,y) for diferente dependendo do caminho de aproximação, o limite não existe.

É correto o que se afirma em:

Alternativas

Alternativa 1 - I, apenas.

Alternativa 2 - II, apenas.

Alternativa 3 - I e II, apenas.

Alternativa 4 - I e III, apenas.

Alternativa 5 - I, II e III.

QUESTÃO 4

A pressão P em uma superfície é modelada pela função:

P(x,y) = x. y² + x². ln y

Assinale a alternativa correta com a expressão que descreve como a pressão varia somente com a posição x, mantendo y fixo:

Alternativas

Alternativa 1 - y² + 2x. y.

Alternativa 2 - y² + 2x. y².

Alternativa 3 - x. y² + ln y.

Alternativa 4 - y² + x². 1/y.

Alternativa 5 - y² + 2x. ln y.

QUESTÃO 5

Ao estudar a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, se não a primeira, mas uma das primeiras aplicações da teoria de Limites é a chamada Derivada. Derivada que, seja no conceito de inclinação da reta tangente em um ponto, seja no conceito de taxa de variação instantânea, possui várias e importantes aplicações. Ao se calcular a derivada de uma função, tem-se comprovado pela teoria e definições de limites, regras que ajudam no processo de derivar. Uma dessas regras, é com relação à derivada do produto entre duas funções. Por exemplo, digamos que as funções f e g sejam deriváveis. Pode-se calcular a derivada do produto f(x).g(x), usando a seguinte regra:

Fonte: Disponível em: https://repositorio.furg.br/bitstream/handle/1/10247/1https_mail.furg.pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).

Usando a regra para a derivada da multiplicação entre duas funções mencionadas acima, aquela que corresponde a derivada de f(x) = (5x+10).(x4-10x2), assinale a alternativa correta:

Alternativas

Alternativa 1 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2219924_1.png

Alternativa 2 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2219927_1.png

Alternativa 3 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2219926_1.png

Alternativa 4 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2219925_1.png

Alternativa 5 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2219928_1.png

QUESTÃO 6

O setor de autopeças representa uma cadeia produtiva fundamental para o complexo automotivo, sendo responsável por parte significativa do desenvolvimento tecnológico, tanto a partir de encomendas das montadoras quanto a partir de inovações e aprimoramentos autônomos. Além disso, segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a indústria de autopeças emprega 331 mil trabalhadores no Brasil, sem contar o contingente de mão de obra alocado no setor de serviços (atacadistas, varejistas, assistência técnica etc.), em 3.077 empresas, das quais 1.824 com cinco ou mais empregados. A indústria de autopeças obteve um faturamento de R$ 76,8 bilhões em 2014. 

Fonte: ​Disponível em: https://web.bndes.gov.br/bib/jspui/bitstream/1408/9555/1/BNDES%20Setotrial%2042%20Panorama%20da%20ind%C3%BAstria%20de%20autope%C3%A7as%20no%20Brasil_P_P.pdf. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).

Com relação a produção e vendas de peças automotivas, uma empresa, ao vender um determinado tipo de peça, tem a variação instantânea, ou seja, a derivada da função receita dada por R ' (q) = 3.q2, e a derivada da função custo, dada por C ' (q) = 27, onde q, representa a quantidade de peças fabricadas e vendidas.

Sabendo que a função lucro pode ser obtida pela diferença entre a função receita e a função custo, no que representa qual será o lucro da empresa, quando for vendido a quantidade de peças entre 6 e 10 peças, assinale a alternativa correta: 

Alternativas

Alternativa 1 - 48.

Alternativa 2 - 108.

Alternativa 3 - 676.

Alternativa 4 - 730.

Alternativa 5 - 784.

QUESTÃO 7

Durante o estudo da dissipação de calor em uma barra metálica, observou-se que a taxa de dissipação em função do tempo é dada por:

Para estimar o calor total dissipado até um certo instante, os engenheiros precisam integrar essa função.

Com base nisso, utilize o método de integração por partes para calcular a integral indefinida da função:

Alternativas

Alternativa 1 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2531414_1.png

Alternativa 2 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2531415_1.png

Alternativa 3 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2531417_1.png

Alternativa 4 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2531418_1.png

Alternativa 5 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2531420_1.png

QUESTÃO 8

O gráfico mostra as funções y = x² e y = 2x, além da região sombreada entre essas curvas no intervalo de x = 0 e x = 2.

Fonte: adaptada de: ANTON, H. et al. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.

Com base no gráfico, qual das alternativas representa corretamente a forma de calcular a área da região sombreada entre as curvas y = x² e y = 2x, no intervalo de 0 a 2?

Alternativas

Alternativa 1 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2531459_1.png

Alternativa 2 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2531460_1.png

Alternativa 3 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2531461_1.png

Alternativa 4 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2531462_1.png

Alternativa 5 - http://sistemasead.unicesumar.edu.br/flex/amfphp/services/Portal/ImagemQuestionario2/ALT_2531463_1.png

QUESTÃO 9

Algumas regras para derivadas de funções podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas. Por exemplo, f(x)=(4x+1)100 pois, é quase impossível derivar um produto com 101 termos usando regras usuais e derivação de funções. Mas, podemos expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, aprende-se a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. Por exemplo, a seguir é apresentado a Regra da Cadeia, que permite derivar uma função composta.



Regra da cadeia: Sejam f e g funções diferenciáveis e a função composta definida por h(x) = f(g(x)). Se u = g(x) é derivável no ponto x e se y = f(u) é derivável no ponto u = g(x), então a função composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por:







Fonte: Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/derivada2.html. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).



Observado o texto acima, referente ao procedimento de se derivar uma função composta, observe a função f(x) = (2x+3)5. Derivando a função f(x) e calculando a derivada no valor 1, obtem-se um valor de:

 

Alternativas

Alternativa 1 - 0.

Alternativa 2 - 5.

Alternativa 3 - 625.

Alternativa 4 - 3125.

Alternativa 5 - 6250.

QUESTÃO 10

Nem sempre devemos, ou podemos, calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que permitem obter derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida. Por exemplo, na divisão de funções, quando o denominador g(x) é não nulo, a derivada pode ser obtido como:

Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.

Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/derivada2.html. Acesso em: Agosto. 2024 (adaptado).

Sobre as regras para obter a derivada de uma função, se derivarmos a função f(x) = (100x+300) / (x+10) e calcular a sua derivada no valor zero, obtemos um valor de: 

Alternativas

Alternativa 1 - 7. 

Alternativa 2 - 10.

Alternativa 3 - 30.

Alternativa 4 - 100.

Alternativa 5 - 300.