CONTEXTUALIZAÇÃO Uma indústria está projetando um tanque de armazenamento temporário de efluente líquido antes do

CONTEXTUALIZAÇÃO

Uma indústria está projetando um tanque de armazenamento temporário de efluente líquido antes do envio para o sistema de tratamento. O tanque possui base circular e um fundo com formato parabólico, projetado para facilitar o escoamento de sólidos.

Durante o dimensionamento do sistema, a equipe de engenharia precisa avaliar:

- O volume máximo de armazenamento do tanque.

- A massa total de efluente armazenada, considerando variação de densidade com a profundidade.

Para realizar essas análises, serão utilizadas ferramentas matemáticas estudadas em Cálculo Diferencial e Integral II, incluindo integrais múltiplas.

Fonte: a autora, 2026.

ETAPA 1. Volume do tanque

O tanque está centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z), sendo o eixo z orientado verticalmente.

O fundo do tanque possui formato de paraboloide e é descrito pela equação:

A base circular do tanque, vista no plano horizontal xy, possui raio interno de 2 m. Assim, os pontos da base satisfazem a condição:

Na borda do tanque, onde x² + y² = 4, a equação do fundo fornece:

Esse valor corresponde ao nível máximo de operação do tanque.

Para maior entendimento, observe a Figura 1.

Figura 1 - Representação do tanque de armazenamento de efluentes.

Fonte: gerada por Gemini em 1 abr. 2026.

​Tarefas

a) Escreva a integral dupla em coordenadas polares que representa o volume máximo do tanque. Neste momento, não é necessário resolver.

b) Calcule o volume máximo do tanque.

ETAPA 2. Massa total do efluente

Durante a operação do tanque, a densidade do efluente não é constante devido à presença de sólidos suspensos. A densidade varia com a altura no interior do tanque segundo a expressão:

onde:

- é a densidade em kg/m³

-  z é a cota vertical em metros.

Tarefas

a) Escreva a integral tripla em coordenadas cilíndricas que representa a massa total de efluente armazenado no tanque. Neste momento, não é necessário resolver.

b) Resolva a integral e determine a massa total aproximada, em kg, de efluente armazenada no tanque.