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ATIVIDADE 2 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 54_2025

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ATIVIDADE 2 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 54_2025

ATIVIDADE 2 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 54_2025

Questão 1
Uma empresa de engenharia fabrica sensores de pressão utilizados em sistemas hidráulicos. O departamento de vendas observou que, ao vender cada sensor por p reais, a quantidade mensal vendida é dada por:


q (p) = 1000 – 20. p
 
A receita mensal da empresa, em função do preço p, é dada por:
 
R (p) = p. q(p)

Determine o valor de p que maximiza a receita mensal da empresa:

Alternativas
Alternativa 1:

R$ 20,00.

Alternativa 2:

R$ 25,00.

Alternativa 3:

R$ 30,00.

Alternativa 4:

R$ 35,00.

Alternativa 5:

R$ 40,00.

Questão 2
É de suma importância que o empresário conheça muito bem seus custos e despesas, e saiba calcular corretamente o preço de venda de seus produtos. O cálculo dos custos e preços de venda na indústria merece a atenção dos empreendedores, para evitar prejuízos devido a erros neste processo. Mas se você perguntar a empreendedores se eles sabem como fazer esse cálculo, pode ser que eles não tenham a resposta na ponta da língua e isso gera uma grande preocupação. É necessário ter muito cuidado e buscar conhecimentos sobre o assunto para não ter dor de cabeça, afinal de contas, é com o cálculo correto dos custos e preços de venda que você vai garantir o seu lucro.

Fonte: Disponível em: https://sebrae.com.br/sites/PortalSebrae/ufs/ap/artigos/custos-e-preco-de-venda-na-industria,6ba6164ce51b9410VgnVCM1000003b74010aRCRD. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).

​Um produto, quando comercializado, apresenta a funções custo e receita, dadas, respectivamente, por C = 3q+90 e R = 5q, em que 'q' é a quantidade comercializada que se supõe que seja a mesma para o custo e receita. Sendo assim, no que corresponde a quantidade para que a receita seja igual ao custo, assinale a alternativa correta:
Alternativas
Alternativa 1:

30.

Alternativa 2:

45.

Alternativa 3:

60.

Alternativa 4:

90.

Alternativa 5:

120.

Questão 3
Um pistão se move dentro de um cilindro sob a ação de uma força variável ao longo de seu deslocamento. A força aplicada, em Newtons, em função da posição x, em metros, é dada pela função F(x) = 4x. O gráfico é mostrado a seguir:


Fonte: o autor.
Sabendo que o trabalho realizado por uma força variável corresponde à área sob a curva da função força, no intervalo considerado, determine o trabalho total realizado pela força ao mover o pistão de x = 0 até x = 5 metros.

Assinale a alternativa que indica o valor correto:

Alternativas
Alternativa 1:

20 J.

Alternativa 2:

25 J.

Alternativa 3:

40 J.

Alternativa 4:

50 J.

Alternativa 5:

60 J.

Questão 4
Durante testes de vibração em uma peça metálica, os engenheiros observaram que a intensidade da vibração em função do tempo podia ser modelada pela expressão:
I(t) = 2t. cos (t²)
Para estimar o comportamento acumulado da vibração em um determinado intervalo, é necessário calcular a integral dessa função.
Resolva a integral indefinida da função I(t) utilizando o método da substituição e assinale a alternativa correta:
Alternativas
Alternativa 1:

sen (t²)

Alternativa 2:

cos (t²) + C

Alternativa 3:

½ sen (t²)

Alternativa 4:

sen (t²) + C

Alternativa 5:

sen² (t²) + C

Questão 5

Empresas procuram maximizar seus lucros, dado sua tecnologia, preço do trabalho, preço do capital, preço dos recursos naturais, e preço da terra. Maximizar lucro, porém, pode significar aumento da produção. O lucro é a diferença entre receitas obtidas pela venda do produto ao preço de mercado, e os custos de produzi-las. Receita total é o quanto a empresa recebe pela venda do produto, ao preço de mercado. Como as empresas estão num mercado competitivo, os preços são constantes e dados pelo mercado. Já o custo total, são gastos com máquinas, equipamentos e outros capitais produtivos, como também os custos com mão-de-obra e insumos necessários para produzir bens. Eles aumentam à medida que as unidades são produzidas.

Fonte: Disponível em: https://www.neema.ufc.br/Ern_cap2_parte2.htm. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).

Sobre as relações envolvendo, receita, custos e lucro, em uma empresa a receita R, para a comercialização de um produto é dada pela função R(q) = 8.q, em que q representa a quantidade, em milhares de unidades de produtos vendidos. Já o custo para se produzir q quantidades do produto, pode ser representado pela função C(q) = 3q+90, sendo C o custo e q a quantidade, em milhares de unidades de produtos produzidos. Com base nessas informações, avalie as afirmativas a seguir:

I. Para a quantidade q = 18, a receita e o custo apresentam o mesmo valor.
II. Sabendo que a função lucro, pode ser obtida pela diferença entre a função receita e a função custo, então a função lucro pode ser representada por L(q) = 5q - 90.
III. Na quantidade q = 18, tem-se o maior lucro na venda dos produtos.
IV. Quando se vende a quantidade q = 30, o lucro é igual a 60.

É correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1:

I, apenas.

Alternativa 2:

II, apenas.

Alternativa 3:

I e II, apenas.

Alternativa 4:

III e IV, apenas.

Alternativa 5:

I, II e IV, apenas.

Questão 6
A indústria da limpeza encerrou o ano de 2021 com os níveis de produção estáveis, quando comparados com 2020 e 2019. “O que é um grande resultado, quando comparado à produção industrial e ao próprio PIB nestes anos”, sublinha o diretor-executivo da Associação Brasileira das Indústrias de Produtos de Higiene, Limpeza e Saneantes de Uso Doméstico e de Uso Profissional (Abipla), Paulo Engler. A produção no setor já crescia mais do que a indústria em geral mesmo antes da pandemia. “Mas como um todo, ele tem registrado bons resultados, especialmente por conta de lançamentos e inovações da indústria. O setor de saneantes investe muito em Pesquisa e Desenvolvimento, então é um mercado que sempre recebe muitas novidades”, garante Engler.
Fonte: adaptado de:  https://diariodocomercio.com.br/economia/industria-da-limpeza-mantem-estabilidade-no-pais/#gref. Acesso em: Agosto. 2024.
​Uma empresa produz detergente e sabonete líquido em uma de suas linhas de produção. As quantidades de detergente e sabonete líquido produzidos podem ser representadas, respectivamente, por x e y. A interdependência dessas variáveis é dada por 4x2+4y = 45.

Sendo as quantidades de materiais produzidas em milhares de litros, assinale a alternativa que representa quanto se deve produzir, aproximadamente de detergente, para que tal quantidade seja a metade da de sabonete líquido:

Alternativas
Alternativa 1:

2,5 milhares de litros.

Alternativa 2:

3,11 milhares de litros.

Alternativa 3:

4 milhares de litros.

Alternativa 4:

6 milhares de litros.

Alternativa 5:

6,5 milhares de litros.

Questão 7

A legislação trabalhista traz regras específicas sobre o pagamento de horas extras para os trabalhadores e as obrigações das empresas nesses casos. Por isso mesmo, é essencial que o empregador se organize para seguir todas as determinações legais a respeito da jornada e do pagamento do trabalho extraordinário. No entanto, o assunto é alvo de diversas dúvidas, principalmente com as mudanças feitas pela reforma trabalhista. Primeiro, a empresa deve ter atenção aos limites em relação à jornada dos empregados. A Constituição Federal determina que a duração normal do trabalho não pode ser superior a 8 horas diárias e 44 horas semanais. A exceção acontece apenas no regime 12×36, quando o empregado trabalha por 12 horas seguidas e depois deve aproveitar 36 horas ininterruptas de descanso.

​Fonte: Disponível em: https://chcadvocacia.adv.br/pagamento-de-horas-extras/. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).

Em relação a remuneração, observe a situação a seguir. Um operário tem seu salário dado por um valor fixo mais uma parte variável que é diretamente proporcional ao número de horas extras trabalhadas. Sabe-se que em um mês em que são feitas 12 horas extras, o salário é de R$ 840,00, e que em um mês que são feitas 20 horas extras, o salário é de R$ 1000,00. Sabendo que o salário pode ser representado por uma função do primeiro grau, ou seja, f(x) = a.x+b, sendo assim, avalie as afirmativas a seguir.

I. A função S(h) = 20.h+600, em que S representa o sálário, e h as horas extras, descreve o salário do funcionário mencionado.
II. Se não for feita nenhuma hora extra, o salário do funcionário é de R$ 600,00.
III. Para o funcionário ter um salário de R$ 1500,00, é preciso que seja feita 30 horas extras.

É correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1:

I, apenas.

Alternativa 2:

II, apenas.

Alternativa 3:

III, apenas.

Alternativa 4:

I e II, apenas.

Alternativa 5:

II e III, apenas.

Questão 8
O gráfico da função f(x) é representado a seguir:


Figura 1 - Gráfico da função f (x)
Fonte: o autor.

Considerando os conceitos de derivada, analise as afirmativas a seguir:
 
I. f’(0) = 1.
II. f’(2) = 0.
III. f’(x) < 0 no intervalo aberto (0,2).
 
É correto o que se afirma em:
Alternativas
Alternativa 1:

I, apenas.

Alternativa 2:

I e II, apenas.

Alternativa 3:

I e III, apenas.

Alternativa 4:

II e III, apenas.

Alternativa 5:

I, II e III.

Questão 9
Durante a análise de sistemas físicos em engenharia, muitas vezes é necessário determinar áreas sob curvas de gráficos que representam velocidade, força, vazão ou outras grandezas ao longo do tempo ou da distância. A integral definida é a ferramenta matemática que possibilita esse tipo de cálculo, assumindo diferentes interpretações a depender do contexto.


Com base no exposto, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
 
I. A integral definida de uma função em um intervalo representa a área sob a curva dessa função, entre os limites inferior e superior do intervalo.

PORQUE

II. A integral de uma função contínua sempre será positiva, independentemente de a função estar acima ou abaixo do eixo x.

​A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

Alternativas
Alternativa 1:

As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

Alternativa 2:

As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

Alternativa 3:

A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

Alternativa 4:

A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

Alternativa 5:

As asserções I e II são proposições falsas.

Questão 10

Sobre a teoria de limites, tem-se que, se em uma função f(x), se a variável x se aproxima de um um ponto a através de valores maiores que a ou pela sua direita, pode-se escrever que:

Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.

Por outro lado, se a variável x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.

Essa teoria é importante, pois ajuda a garantir a continuidade de uma função em um determinado ponto.

Fonte: Disponível em: https://www.somatematica.com.br/superior/limites/limites3.php. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).

Sobre uma função convergir em um determinado ponto, observe o gráfico a seguir.


Fonte. O autor.

No gráfico acima, temos a representação de uma função f(x), em que no eixo horizontal consta a representação da variável x, e no eixo vertical a representação da função f(x). É possível perceber pelas informações do enunciado e pelo gráfico, que quando a variável x tende ao ponto 1 do eixo horizontal pela esquerda e também pela direita, a função f(x) tende a um valor no eixo vertical.

No que representa esse valor do eixo vertical, assinale a alternativa correta:

Alternativas
Alternativa 1:

0.

Alternativa 2:

1.

Alternativa 3:

2.

Alternativa 4:

3.

Alternativa 5:

4.

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