A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio

A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.

O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16 m.

Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.

A medida encontrada pelo engenheiro foi

A) 4π.

B) 8π.

C) 48π.

D) 64π.

E) 192π.

Solução

A área do passeio (A_P) é calculada pela área da circunferência grande (A) de raio R, menos a área do chafariz (A_C) de raio r, assim

A_P = A – A_C

A_P = πR² – πr²

A_P = π(R² – r²)

Para calcular o valor de R² – r² podemos observar o seguinte triângulo

Onde, por pitágoras

R² = r² + 64

R² – r² = 64

Substituindo na equação, temos

A_P = π(R² – r²)

A_P = π.64

Alternativa D