O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção

O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.

Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.

Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?

A) I

B) II

C) III

D) IV

E) V

Solução

Caminho I:

Pelo caminho I a distância entre a cidade A e a Rodovia 003 é 40 enquanto precisamos calcular a distância da rodovia 003 a cidade B.

Podemos calcular por Pitágoras essa distância usando o triângulo onde esse percurso é a hipotenusa:

Então x² = 30² + 20²

x = √1300

No caminho I a distância percorrida é 40 + √1300 km ≈ 76 km

Fazendo o mesmo passo para todos os percursos temos:

Caminho II:

x² = 40² + 10² e y² = 20² + 20²

Resolvendo x  = √1700 e y = √800

A distância percorrida no caminho II é √1700 + √800 ≈ 69 km

Caminho III:

x² = 40² + 15² e y² = 20² + 15²

Resolvendo x  = √1825 e y = √625

A distância percorrida no caminho III é √1825 + √625 ≈ 67 km

Caminho IV:

x² = 40² + 20² e y² = 20² + 10²

Resolvendo x  = √2000 e y = √500

A distância percorrida no caminho IV é √2000 + √500 ≈ 66 km

Caminho V:

x² = 40² + 30² e y = 20

Resolvendo x  = 50 e y = 20

A distância percorrida no caminho V é 50 + 20 = 70 km

A menor das distância é o caminho IV

Alternativa D